Aplicaciones

Aplicaciones

1. Reflexión: Se aplica cuando un grupo de puntos se dibujan a partir del espacio euclidiano y entra en otro espacio diferente de manera isométrica al espacio euclidiano mencionado anteriormente. Esta operación puede realizarse con respecto a la matriz.   2. Expansión: De la misma manera que la reflexión, se pueden expandir los puntos obtenidos, en una dirección dada. Esta aplicación de expansión se dirige casi siempre a un cierto grado.   3. Contracción: La contracción se aplica para invertir la expansión. Es decir, que el punto dado es contraído a cierto grado en una dirección señalada.   4. Rotación: La rotación se utiliza para grados determinados donde  el cual se muestra en forma de ángulo. Esta aplicación puede realizarse en sentido horario o inverso a este.

Representacion Matricial de una Transformacion Lineal

Algebra Lineal

REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.

Si  T  es una  función  de     en       definida  por     en donde   A  es una matriz de  , y dado que  la condición     corresponde  a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices       y la condición     es también una propiedad de la multiplicación de matrices    .   Entonces  T es una transformación lineal.   Y se puede concluir que:

Toda matriz  A de     define una transformación lineal de     en     . Ahora consideremos  una transformación lineal  T  de    en     ; si aplicamos esta transformación a los vectores base de   , obtenemos los  siguientes vectores:

Si construimos una matriz   A_T  cuyas columnas sean los vectores    ;   A_T   define una transformación lineal de    en           tal que  si

                                               para   i = 1, 2, . . . , n.

Entonces

                           

y por lo tanto      para   i = 1, 2, . . . , n.   Concluimos que  T  y la transformación  A_T  ,   son la misma, porque tienen el mismo efecto sobre los vectores base.

A_T   es la matriz cuyas  columnas son los vectores   .

La matriz  A_T   se llama  matriz de transformación de  T   o  representación matricial de  T.

Si se usan bases diferentes, las matrices de transformación que se obtendrán serán diferentes.

Ejemplo 1.

Encuentre la representación matricial de la transformación lineal  T  de   en    definida por

                                   

Aplicamos  T  a los vectores base de  :

               ,     ,     ,    

Entonces la matriz  A_T   es

                                     .

Ejemplo  2.

En el ejemplo 1 se utilizó la base canónica para construir la matriz de representación de la transformación lineal

ahora se utilizará la base  .

,     ,     ,    

Entonces la nueva matriz de transformación queda:

Transformacion Lineal

Aplicacion entre dos espacios vectoriales que preservan operaciones....

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ${\displaystyle K}$. Una aplicación ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ es una transformación lineal si para todo par de vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ y para todo escalar ${\displaystyle k\in K}$, se satisface que:

1. ${\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)\,}$
2. ${\displaystyle T(ku)=kT(u)\,}$

EJEMPLOS

1. La aplicación ${\displaystyle B:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ que envía ${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ (su conjugado) es una transformación lineal si consideramos a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ como un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos como ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espacio vectorial, ya que ${\displaystyle B(i)=-i\neq iB(1)=i}$.
2. Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la función identidad ${\displaystyle T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x,}$ ${\displaystyle \forall x\in V}$, que resulta una transformación lineal.
3. Las homotecias: ${\displaystyle T:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)=kx}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {K} }$. Si k > 1 se denominan dilataciones, si k < 1 se denominan contracciones.
4. Dada una matriz ${\displaystyle A\in M_{n\times m}(K)}$, la función ${\displaystyle L_{A}:K^{m}\rightarrow K^{n}}$ definida como ${\displaystyle L_{A}(x)=Ax}$ es una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer más abajo en el artículo), podemos concluir que cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita puede verse como multiplicar por una matriz.
5. Sea ${\displaystyle V}$ el conjunto de funciones continuas en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y defínase ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ mediante ${\displaystyle \phi (f)(t)=\int _{0}^{t}f(x)\,dx}$, ocurre que:

${\displaystyle \int _{0}^{t}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{0}^{t}f(x)\,dx+\int _{0}^{t}g(x)\,dx}$

y

${\displaystyle \int _{0}^{t}cf(x)\,dx=c\int _{0}^{t}f(x)\,dx}$ para ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$

Por lo tanto, se cumple que ${\displaystyle \phi (f+g)=\phi (f)+\phi (g)}$ y ${\displaystyle \phi (cf)=c\,\phi (f)}$ para todo ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle V}$ y todo ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, así que ${\displaystyle \phi }$ es una aplicación lineal de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle V}$.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES

Sean ${\displaystyle V_{}^{}}$ y ${\displaystyle W_{}^{}}$ espacios vectoriales sobre ${\displaystyle K_{}^{}}$ (donde ${\displaystyle K_{}^{}}$ representa el cuerpo) se satisface que:

Si ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de ${\displaystyle T_{}^{}}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0_{W}\,\}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}}$

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

1. ${\displaystyle 0_{V}\in \operatorname {ker} (T)}$ dado que ${\displaystyle T(0_{V})=0_{W}}$ (para probar esto, observar que ${\displaystyle T(0_{V})=T(0_{V}+0_{V})=T(0_{V})+T(0_{V})}$).
2. Dados ${\displaystyle u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)}$
3. Dados ${\displaystyle u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)}$

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. ${\displaystyle \operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}$

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))}$