Transformacion Lineal

Aplicacion entre dos espacios vectoriales que preservan operaciones....

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ${\displaystyle K}$. Una aplicación ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ es una transformación lineal si para todo par de vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ y para todo escalar ${\displaystyle k\in K}$, se satisface que:

1. ${\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)\,}$
2. ${\displaystyle T(ku)=kT(u)\,}$

EJEMPLOS

1. La aplicación ${\displaystyle B:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ que envía ${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ (su conjugado) es una transformación lineal si consideramos a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ como un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos como ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espacio vectorial, ya que ${\displaystyle B(i)=-i\neq iB(1)=i}$.
2. Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la función identidad ${\displaystyle T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x,}$ ${\displaystyle \forall x\in V}$, que resulta una transformación lineal.
3. Las homotecias: ${\displaystyle T:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)=kx}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {K} }$. Si k > 1 se denominan dilataciones, si k < 1 se denominan contracciones.
4. Dada una matriz ${\displaystyle A\in M_{n\times m}(K)}$, la función ${\displaystyle L_{A}:K^{m}\rightarrow K^{n}}$ definida como ${\displaystyle L_{A}(x)=Ax}$ es una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer más abajo en el artículo), podemos concluir que cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita puede verse como multiplicar por una matriz.
5. Sea ${\displaystyle V}$ el conjunto de funciones continuas en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y defínase ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ mediante ${\displaystyle \phi (f)(t)=\int _{0}^{t}f(x)\,dx}$, ocurre que:

${\displaystyle \int _{0}^{t}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{0}^{t}f(x)\,dx+\int _{0}^{t}g(x)\,dx}$

y

${\displaystyle \int _{0}^{t}cf(x)\,dx=c\int _{0}^{t}f(x)\,dx}$ para ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$

Por lo tanto, se cumple que ${\displaystyle \phi (f+g)=\phi (f)+\phi (g)}$ y ${\displaystyle \phi (cf)=c\,\phi (f)}$ para todo ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle V}$ y todo ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, así que ${\displaystyle \phi }$ es una aplicación lineal de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle V}$.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES

Sean ${\displaystyle V_{}^{}}$ y ${\displaystyle W_{}^{}}$ espacios vectoriales sobre ${\displaystyle K_{}^{}}$ (donde ${\displaystyle K_{}^{}}$ representa el cuerpo) se satisface que:

Si ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de ${\displaystyle T_{}^{}}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0_{W}\,\}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}}$

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

1. ${\displaystyle 0_{V}\in \operatorname {ker} (T)}$ dado que ${\displaystyle T(0_{V})=0_{W}}$ (para probar esto, observar que ${\displaystyle T(0_{V})=T(0_{V}+0_{V})=T(0_{V})+T(0_{V})}$).
2. Dados ${\displaystyle u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)}$
3. Dados ${\displaystyle u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)}$

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. ${\displaystyle \operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}$

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))}$